Résolution d'équations du second degré dans C

Résolution d'équations du second degré à coefficients entiers dans C.

Joël Gauvain
Mathématiques à Valin
Lycée René Josué Valin
17000 La Rochelle

0

\frac{n+p\sqrt{m}}{d}

n=

p=

m=

d=

z_1=0

Affecter cette valeur à

z_2=0

Affecter cette valeur à

z_1

z_2

Nouvel énoncé

Vous devez d'abord extraire un carré de la racine ou la simplifier.

Vous devez simplifier votre fraction.

1° Calcul du discriminant :

\Delta=

Δ

Valider Δ

Attention, il y a une erreur de calcul !

2° Nombre de solutions :

Deux solutions complexes non réelles

Une unique solution réelle

Deux solutions réelles

\text{L'équation admet deux solutions complexes non réelles }z_1\text{ et }z_2.

\text{L'équation admet une unique solution } z_0
.

\text{L'équation admet deux solutions réelles distinctes, }z_1\text{ et }z_2

3° Calcul de 

z_1

et

z_2

\text{Pour écrire un nombre réel à droite du cadre, modifiez les valeurs de }n\text{ , }p\text{ , }m\text{ et }d. \text{ Attention on attend }d>0.

Vous avez trouvé les deux solutions.

Attention, au moins une des deux réponses est fausse.

Mauvaise réponse

Mauvaise réponse

Mauvaise réponse

Valider ces deux réponses

z_0

Affecter cette valeur à :

\alpha=\frac{1+5\sqrt{3}}{2}

Valider cette réponse

\frac{1+5\sqrt{3}}{2}

RAZ

Dans cette série d'exercices vous allez résoudre des équations du second degré
à coefficients réels entiers dans l'ensemble des nombres complexes.
Les solutions sont attendues sous forme algébriques exactes et simplifiées.

Mathématiques à Valin

Voir le calcul de la solution

Voir le calcul des deux solutions

Voir l'aide

-5z² + 9z + 10 

z_0

\text{:      Posons } z_1=x_1+y_1\text{ i    et   } z_2=x_2+y_2\text{ i     avec   } x_1\text{ , }y_1\text{ , }x_2\text{ et }y_2\text{  réels}. 

x_1=-\frac{2}{3}

Affecter cette valeur à

x_1

Affecter cette valeur à

y_1=\frac{2\sqrt{3}}{5}

y_1

-\frac{2}{3}

\frac{2\sqrt{3}}{5}

x_2=-\frac{2}{3}

y_2=\frac{2\sqrt{3}}{5}

-\frac{2}{3}

\frac{2\sqrt{3}}{5}

Affecter cette valeur à

x_2

Affecter cette valeur à

y_2

Valider ces deux réponses

Vous avez trouvé les deux solutions de l'équation.

Attention, au moins une des deux réponses est fausse.

Voir le calcul des deux solutions

\ovalbox{\text{Pour écrire} \frac{n}{d},\
\text{laissez }m\text{ à }0\text{, et}\
\text{pour écrire } \frac{p\sqrt{m}}{d},\
\text{laissez }n\text{ à }0.\}

\ovalbox{\text{Dernier exercice}}

Commencer la série d'exercices

m = 0 (slider from 0 to 20000, step 1)
num2: "-\sqrt{" + m + "}"
num1: "\sqrt{" + m + "}"
p = 1 (slider from -10000 to 100, step 1)
num4: "" + p + "\sqrt{" + m + "}"
absp: abs(p)
num3: "-" + absp + "\sqrt{" + m + "}"
d = 1 (slider from 1 to 10000, step 1)
n = 0 (slider from -10000 to 100, step 1)
imrac0 = If(n ≟ 0 ∧ (d > 1) ∧ (m > 1) ∧ p ≟ -1, "-\frac{\sqrt{" + m + "}}{" + d + "}", "")
imrac1 = If(n ≟ 0 ∧ (d > 1) ∧ (m > 1) ∧ (p  <  -1), "-\frac{" + absp + "\sqrt{" + m + "}}{" + d + "}")
num4b = If(n ≟ 0 ∧ (p > 1), num4, "")
num3b = If(n ≟ 0 ∧ (p  <  -1), num3, "")
num2b = If(n ≟ 0 ∧ p ≟ -1, num2, "")
num1b = If(n ≟ 0 ∧ p ≟ 1, num1, "")
num8: "" + n + "+" + p + "\sqrt{" + m + "}"
num8b = If((n ≠ 0) ∧ (p > 1), num8, "")
num7: "" + n + "-" + absp + "\sqrt{" + m + "}"
num7b = If((n ≠ 0) ∧ (p  <  -1), num7, "")
num6: "" + n + "-\sqrt{" + m + "}"
num6b = If((n ≠ 0) ∧ p ≟ -1, num6, "")
num5: "" + n + "+\sqrt{" + m + "}"
num5b = If((n ≠ 0) ∧ p ≟ 1, num5, "")
num: "" + num1b + "" + num2b + "" + num3b + "" + num4b + "" + num5b + "" + num6b + "" + num7b + "" + num8b + ""
numb = If((m ≠ 0) ∧ (p ≠ 0) ∧ d ≟ 1, num, "")
frac2: "\frac{" + num + "}{" + d + "}"
frac2b = If((m ≠ 0) ∧ (p ≠ 0) ∧ (d > 1) ∧ ((n ≠ 0) ∨ (p > 0)), frac2, "")
t2b = If((m ≟ 0 ∨ p ≟ 0) ∧ (d ≠ 1) ∧ n ≟ 0, t2, "")
absn: abs(n)
t4: "-\frac{" + absn + "}{" + d + "}"
t4b = If((m ≟ 0 ∨ p ≟ 0) ∧ (d ≠ 1) ∧ (n  <  0), t4, "")
t3: "\frac{" + n + "}{" + d + "}"
t3b = If((m ≟ 0 ∨ p ≟ 0) ∧ (d ≠ 1) ∧ (n > 0), t3, "")
t1: "" + n + ""
t1b = If((m ≟ 0 ∨ p ≟ 0) ∧ d ≟ 1, t1, "")
soln = 2
solm = 1
sold = 5
solp = -7
cas4b = If((solp > 1) ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "+" + solp + "\sqrt{" + solm + "}", "")
cas3b = If(solp ≟ 1 ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "+\sqrt{" + solm + "}", "")
cas2b = If(solp ≟ -1 ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "-\sqrt{" + solm + "}", "")
cas1b = If((solp  <  -1) ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "" + solp + "\sqrt{" + solm + "}", "")
numsolution2: "" + (LaTeX[cas1b]) + "" + (LaTeX[cas2b]) + "" + (LaTeX[cas3b]) + "" + (LaTeX[cas4b]) + ""
oppsolp: (-solp)
ci4 = Corner(texte1, 4)
ci1 = Corner(texte1, 1)
h = Segment(ci4, ci1)
O = Point(h)
ci2 = Corner(texte1, 2)
q = Segment(ci1, ci2)
R = Point(q)
P = Point(q)
ci3 = Corner(texte1, 3)
r = Segment(ci2, ci3)
Q = Point(r)
e = Segment(ci4, ci3)
M = Point(e)
N = Point(h)
a = -5 (slider from -100 to 100, step 1)
b = 9
c = 10
f(x) = (a * x^(2)) + (b * x) + c
M3: (1, f(1))
M2: (0, f(0))
M1: (-1, f(-1))
f2(x) = (b * x) + c
f1(x) = (a * x^(2))
affichage: "" + (LaTeX[t1b]) + "" + (LaTeX[t2b]) + "" + (LaTeX[t3b]) + "" + (LaTeX[t4b]) + "" + (LaTeX[numb]) + "" + (LaTeX[frac2b]) + "" + (LaTeX[imrac0]) + "" + (LaTeX[imrac1]) + ""
qapp: (n + (p * sqrt(m))) / d
A = (0.9, 5.6)
B = (1.72, 5.1)
u = Vector(A, B)
D: (x(M), 5.6)
C: (x(M), y(N))
v = Vector(D, C)
F: (3.7, y(Q))
E: (x(P), y(Q))
w = Vector(F, E)
G: (x(R), y(O))
n2 = 0
ChampTexte1 = Textfield(n2)
p2 = 1
ChampTexte2 = Textfield(p2)
m2 = 0
ChampTexte3 = Textfield(m2)
d2 = 1
ChampTexte4 = Textfield(d2)
I = (-0.2, 6.16)
J: (x(I) + 5, y(I))
K: (x(J), y(J) - 2.7)
L: (x(I), y(K))
g = Polynomial({M1, M2, M3})
npdsimp: (GCD[{n, p, d}] ≠ 1) ∨ (m * p) ≟ 0 ∧ (GCD[{n, d}] ≠ 1)
msimp: (IsInteger[m / 4] ∨ IsInteger[m / 9] ∨ IsInteger[m / 25] ∨ IsInteger[m / 49] ∨ IsInteger[m / 121] ∨ IsInteger[m / 169] ∨ IsInteger[m / 289] ∨ IsInteger[m / 361] ∨ IsInteger[m / 529] ∨ IsInteger[m / 841] ∨ m ≟ 1) ∧ (m ≠ 0) ∧ (p ≠ 0)
pgdc = GCD({a, b, c})
ChampTexte5 = Textfield(Tdelta)
Δ = 76
Δjuste: Δ ≟ b^(2) - ((4 * a) * c)
juste1 = true
affiche1 = false
texte10: "\Delta=" + (LaTeX[Δ]) + ""
nbsol = -1
repx1 = 0
repx2 = 0
sol1: ((-b) - sqrt(Δ)) / ((2 * a))
sol2: ((-b) + sqrt(Δ)) / ((2 * a))
x12justes: sol1 ≟ repx1 ∧ sol2 ≟ repx2 ∨ sol2 ≟ repx1 ∧ sol1 ≟ repx2
affiche3 = false
affiche4 = false
gain = 0
nbexo = 0 (slider from 0 to 500, step 1)
numexo: 0
mauvais2 = false
mauvais1 = false
mauvais3 = false
valid2rep = false
score = 0
affα: "\alpha=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affiche5 = false
repα = 4.830127018922193
hasard = 5
ka = 5
kb = 5
k = -1 (slider from -5 to 5, step 1)
bonα: repα ≟ ((-b)) / ((2 * a))
voirrepα = false
texte28: "" + (LaTeX[txα2]) + " \text{ n'est pas solution de l'équation.}"
texte27: "\text{Effectivement }" + (LaTeX[txα2]) + " \text{ est l'unique solution de l'équation.}"
poly1, i, j, k_1, l = Polygon(I, J, K, L)
H: (x(R), y(O) - 0.5)
u' = Vector(H, G)
pluriel = If(score > 1, "s", "")
pluriel2 = If(nbexo > 1, "s", "")
texte22: " " + score + " exercice" + pluriel + " réussi" + pluriel + " sans erreur sur  " + nbexo + " proposé" + pluriel2 + "."
debut = false
nbα: ((-b)) / ((2 * a))
textsolα = SurdText(nbα)
voirsolα = false
opb: (-b)
faccom = 2
solm4 = IsInteger(solm / 4)
solm9 = IsInteger(solm / 9)
solm25 = IsInteger(solm / 25)
solm49 = IsInteger(solm / 49)
solm121 = IsInteger(solm / 121)
solm169 = IsInteger(solm / 169)
solm289 = IsInteger(solm / 289)
cas1 = If((solp  <  -1) ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "+" + oppsolp + "\sqrt{" + solm + "}", "")
solm361 = IsInteger(solm / 361)
cas2 = If(solp ≟ -1 ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "+\sqrt{" + solm + "}", "")
cas3 = If(solp ≟ 1 ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "-\sqrt{" + solm + "}", "")
cas4 = If((solp > 1) ∧ (solm ≠ 1), "" + soln + "-" + solp + "\sqrt{" + solm + "}", "")
numsolution1: "" + (LaTeX[cas1]) + "" + (LaTeX[cas2]) + "" + (LaTeX[cas3]) + "" + (LaTeX[cas4]) + ""
solution1 = If(sold ≟ 1, "" + numsolution1, "\frac{" + numsolution1 + "}{" + sold + "}")
sansrac1 = SurdText((soln - solp) / sold)
sol1finale = If(solm ≟ 1, "" + sansrac1, solution1)
sansrac2 = SurdText((soln + solp) / sold)
solution2 = If(sold ≟ 1, "" + numsolution2, "\frac{" + numsolution2 + "}{" + sold + "}")
sol2final = If(solm ≟ 1, "" + sansrac2, solution2)
texte32: "\text{Si }a=" + (LaTeX[a]) + " \text{  et  }b=" + (LaTeX[b]) + " \text{  alors : }"
voir2sol = false
texte33: "\text{Si on pose } a=" + (LaTeX[a]) + "\text{ , }b=" + (LaTeX[b]) + "\text{ et  }c=" + (LaTeX[c]) + "\text{  alors }\Delta=b^2-4×a×c"
aide1 = false
N1: (-1, a)
N2 = (0, 0)
N3: (1, a)
g1 = Polynomial({N1, N2, N3})
P1: (0, c)
P2: (1, b + c)
g2 = Polynomial({P1, P2})
newf = If(b ≟ -1, "" + g1 + g2, "" + g)
code = 697
code1: code + 11
code2 = Mod((code * (score + 7)), 991)
code0 = Random(101, 975)
code3 = Mod((code * (nbexo + 5)), 991)
codefinal: (1000000 * code1) + (1000 * code2) + code3
posx = IndexOf("x", equa)
avantx = Take(equa, 1, posx - 1)
apresx = Take(equa, posx + 1)
texte4: "\text{Résoudre l'équation : } " + (LaTeX[equa]) + "=0 \text{ dans l'ensemble des nombres complexes.} "
texte31: "z_1= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{" + (LaTeX[opb]) + "-\sqrt{" + (LaTeX[Δ]) + "}}{" + (LaTeX[a]) + "×2}=" + (LaTeX[sol1finale]) + "\text{   et   }z_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{" + (LaTeX[opb]) + " +\sqrt{" + (LaTeX[Δ]) + " }}{ " + (LaTeX[a]) + "×2}=" + (LaTeX[sol2final]) + ""
affichesol1: "\text{En posant  }a=" + (LaTeX[a]) + "\text{ , }b=" + (LaTeX[b]) + "\text{  on a alors  }z_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{" + (LaTeX[b]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "×2}=" + (LaTeX[textsolα]) + ""
affx1: "z_1=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affx2: "z_2=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affxz1: "x_1=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affyz1: "y_1=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affxz2: "x_2=" + (LaTeX[affichage]) + ""
affyz2: "y_2=" + (LaTeX[affichage]) + ""
repxz1 = -0.6666666666666666
affiche6 = false
voir4sol = false
repyz1 = 0.6928203230275509
affiche7 = false
signz1 = If(repyz1 ≥ 0, "+", "")
repxz2 = -0.6666666666666666
repyz2 = 0.6928203230275509
affiche8 = false
affiche9 = false
signz2 = If(repyz2 ≥ 0, "+", "")
xz1juste: repxz1 ≟ ((-b)) / ((2 * a))
yz1juste: repyz1 ≟ sqrt((-Δ)) / ((2 * a)) ∨ repyz1 ≟ ((-sqrt((-Δ)))) / ((2 * a))
xz2juste: repxz2 ≟ ((-b)) / ((2 * a))
yz2juste: (repyz2 ≟ sqrt((-Δ)) / ((2 * a)) ∨ repyz2 ≟ ((-sqrt((-Δ)))) / ((2 * a))) ∧ (repyz2 ≠ repyz1)
S = (12.5, 6.04)
T = (12.5, 5.24)
U = (12.5, 4.44)
V = (12.5, 3.62)
valid2z = false
zjuste: xz1juste ∧ yz1juste ∧ xz2juste ∧ yz2juste
opΔ: (-Δ)
tfracrac = SurdText(sqrt((-Δ)) / ((2 * abs(a))))
signtfracrac1 = If(a  <  0, "-", "+")
signtfracrac2 = If(a  <  0, "+", "-")
tfracrac5 = If(sqrt(opΔ) / ((2 * abs(a))) ≠ 1, tfracrac, "")
texte45: "z_1= \frac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}=\frac{" + (LaTeX[opb]) + "-\text{i}\sqrt{" + (LaTeX[opΔ]) + "}}{" + (LaTeX[a]) + "×2}=" + (LaTeX[textsolα]) + "" + (LaTeX[signtfracrac2]) + "" + (LaTeX[tfracrac5]) + "\text{i     et     }z_2= \frac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}=\frac{" + (LaTeX[opb]) + "+\text{i}\sqrt{" + (LaTeX[opΔ]) + "}}{" + (LaTeX[a]) + "×2}=" + (LaTeX[textsolα]) + "" + (LaTeX[signtfracrac1]) + "" + (LaTeX[tfracrac5]) + "\text{i }"
attendu: b^(2) - ((4 * a) * c)
timz1 = If(imz1 ≠ "1", imz1, "")
texte39: "z_1=" + (LaTeX[reelz1]) + "" + (LaTeX[signz1]) + "" + (LaTeX[timz1]) + "\text{ i}"
timz2 = If(imz2 ≠ "1", imz2, "")
texte42: "z_2=" + (LaTeX[reelz2]) + "" + (LaTeX[signz2]) + "" + (LaTeX[timz2]) + "\text{ i}"
W = (-0.32, 3.344)
grade: score
notemax: 5